Question

16．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（2a-b）cosC=c•cosB，△ABC的面積S=10$\sqrt{3}，c=7$．
（1）求角C；   
（2）若a＞b，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用余弦定理化簡(jiǎn)整理后得到一個(gè)關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosC，將得出的關(guān)系式代入求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用三角形的面積公式列出關(guān)系式，將sinC及已知面積代入取出ab的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，利用完全平方公式變形求出a+b的值，聯(lián)立即可求出a與b的值．

解答 解：（1）解：（1）∵（2a-b）cosC=c•cosB，
由余弦定理（2a-b）•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=c•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵在三角形中，C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由$S=\frac{1}{2}absinC=10\sqrt{3}$可得：ab=40，①
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：c²=49=（a+b）²-3ab=（a+b）²-120，即a+b=13，②
聯(lián)立①②解得：a=5，b=8或a=8，b=5，
∵a＞b，
∴a=8，b=5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．