Question

11．在極坐標(biāo)系中，已知射線C₁：θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），動圓C₂：ρ²-2x₀ρcosθ+x₀²-4=0（x₀∈R）．
（1）求C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若射線C₁與動圓C₂相交于M與N兩個不同點，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用tan θ=$\frac{y}{x}$，θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），即可得出C₁的直角坐標(biāo)方程．利用$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}$，即可得出C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}，ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0，{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$，由于關(guān)于ρ的一元二次方程ρ²-$\sqrt{3}$x₀ρ+x₀²-4=0（x₀∈R）在[0，+∞）內(nèi)有兩個實根．可得$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4（{x}_{0}^{2}-4）＞0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}＞0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵tan θ=$\frac{y}{x}$，θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）．
∴C₁的直角坐標(biāo)方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）．
∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}$，∴C₂的直角坐標(biāo)方程x²+y²-2x₀x+x₀²-4=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}，ρ≥0}\\{{ρ}^{2}-2{x}_{0}ρcosθ+{{x}_{0}}^{2}-4=0，{x}_{0}∈R}\end{array}\right.$
關(guān)于ρ的一元二次方程ρ²-$\sqrt{3}$x₀ρ+x₀²-4=0（x₀∈R）在[0，+∞）內(nèi)有兩個實根．
即$\left\{\begin{array}{l}{△=3{x}_{0}^{2}-4（{x}_{0}^{2}-4）＞0}\\{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}=\sqrt{3}{x}_{0}＞0}\\{{ρ}_{1}{ρ}_{2}≥0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4＜{x}_{0}＜4}\\{{x}_{0}＞2}\\{{x}_{0}≥2或{x}_{0}≤-2}\end{array}\right.$，
解得2≤x₀＜4．

點評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、曲線的交點坐標(biāo)、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．