Question

12．在xOy平面上有一系列點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，點(diǎn)P_n位于函數(shù)y=x²（x≥0）的圖象上，以點(diǎn)P_n為圓心的圓P_n與H軸都相切，且圓P_n與圓P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N⁺）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是等差數(shù)列
（2）設(shè)圓P_n的面積為S_n，T_n=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$+…+$\sqrt{{S}_{n}}$，求證：T_n＜$\frac{3\sqrt{π}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）依題意，⊙P_n的半徑${r_n}={y_n}={x_n}^2$，由于⊙P_n與⊙P_n+1彼此外切，可得|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1，$\sqrt{{{（{x_n}-{x_{n+1}}）}^2}+{{（{y_n}-{y_{n+1}}）}^2}}={y_n}+{y_{n+1}}$．化簡(jiǎn)整理利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）可得${x}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，可得S_n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）證明：依題意，⊙P_n的半徑${r_n}={y_n}={x_n}^2$，
∵⊙P_n與⊙P_n+1彼此外切，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1，∴$\sqrt{{{（{x_n}-{x_{n+1}}）}^2}+{{（{y_n}-{y_{n+1}}）}^2}}={y_n}+{y_{n+1}}$．
兩邊平方，化簡(jiǎn)得${（{x_n}-{x_{n+1}}）^2}=4{y_n}{y_{n+1}}$，即${（{x_n}-{x_{n+1}}）^2}=4x_n^2x_{n+1}^2$．
∵x_n＞x_n+1＞0，∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，$⇒\frac{1}{{{x_{n+1}}}}-\frac{1}{x_n}=2（n∈{N_+}）$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{x_n}}\right\}$是等差數(shù)列． 
（2）解：由題設(shè)，x₁=1，∴$\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_1}+（n-1）•2⇒{x_n}=\frac{1}{2n-1}$．
${S_n}=π{r_n}^2=π{y_n}^2=π{x_n}^4=\frac{π}{{{{（2n-1）}^4}}}$．
${T_n}=\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+…+\sqrt{S_n}$
=$\sqrt{π}[{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+…+\frac{1}{{{{（2n-1）}^2}}}}]$≤$\sqrt{π}[{1+\frac{1}{1•3}+\frac{1}{3•5}+…+\frac{1}{（2n-3）•（2n-1）}}]$
=$\sqrt{π}\left\{{1+\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）}]}\right\}$
=$\sqrt{π}[{1+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n-1}）}]$
=$\frac{{3\sqrt{π}}}{2}-\frac{{\sqrt{π}}}{2（2n-1）}＜\frac{{3\sqrt{π}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、圓的性質(zhì)及其面積計(jì)算公式，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．