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【題目】已知函數.

若在其定義域上單調遞減，求的取值范圍；

若存在兩個不同極值點與，且，求證.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

先對函數求導，由在其定義域上單調遞減，得到恒成立，即恒成立，用導數的方法求出的最小值即可；

（2）若存在兩個不同極值點與，且，欲證：，只需證：，即證，再根據，得到，，再令，得到，設，由導數方法研究其單調性即可得出結論.

解：（1）由于的定義域為，且，若在其定義域上單調遞減，則恒成立，即恒成立.

令，

則隨著的變化，與的變化如下表所示

-

0

+

↘

極小值

↗

所以.

所以

（2）若存在兩個不同極值點與，且，

欲證：.

只需證：.

只需證：.

只需證：.

因為，，，，

所以，

所以

令，則，則，

設，則，

可知函數在上單調遞增

所以 .

所以成立.

練習冊系列答案
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【題目】某機構對A市居民手機內安裝的“APP”(英文Application的縮寫，一般指手機軟件)的個數和用途進行調研，在使用智能手機的居民中隨機抽取了100人，獲得了他們手機內安裝APP的個數，整理得到如圖所示頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從A市隨機抽取一名使用智能手機的居民，試估計該居民手機內安裝APP的個數不低于30的概率；

（Ⅱ）從A市隨機抽取3名使用智能手機的居民進一步做調研，用X表示這3人中手機內安裝APP的個數在[20,40)的人數．

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