Question

在某學(xué)校的一次選拔性考試中，隨機(jī)抽取了100名考生的成績（單位：分），并把所得數(shù)據(jù)列成了如下表所示的頻數(shù)分布表：

組別	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
頻數(shù)	5	18	28	26	17	6

（1）求抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s²（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認(rèn)為這次成績z服從正態(tài)分布N（μ，σ²）（其中μ近似為樣本平均數(shù)

x

，σ²近似為樣本方差s²），且規(guī)定82.7分是復(fù)試線，那么在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有多少人？（附：

161

≈12.7，若z～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.682，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544．）．
（3）已知樣本中成績在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，現(xiàn)從中選3人進(jìn)行回訪，記選出的男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望E（ξ）．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列,正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，利用平均數(shù)公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s²．（2）由（1）知z～N（70，161），由此能求出P（z＞82.7）=

1-0.6826

2

=0.1587，從而能求出在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試人數(shù)．
（3）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與期望E（ξ）．

解答： 解：（1）由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，得：
樣本平均數(shù)

.

x

=45×0.05+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.17+95×0.06=70，
樣本方差S²=（-25）²×0.05+（-15）²×0.18+（-5）²×0.28+5²×0.26+15²×0.17+25²×0.06=161，
（2）由（1）知z～N（70，161），
∴P（z＞82.7）=

1-0.6826

2

=0.1587，
∴在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有：2000×0.1587≈317人．
（3）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=3）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

1

5

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意可能事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．