Question

函數f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）的部分圖象如圖所示．A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（1）若x∈[0，1]，求函數f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求cos（

πx0

4

+

π

3

）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數,二倍角的余弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），由已知可得周期，進而可得ω，可得函數的解析式，由x的范圍可得；（2）由題意可得sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，由同角三角函數的基本關系可得要求的值．

解答： 解：（1）由已知得f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3
=3cosωx+

3

sinωx=2

3

sin（ωx+

π

3

）
又△ABC為正三角形，且高為2

3

，可得BC=4．
∴函數f（x）的最小正周期為8，即

2π

ω

=8，
解得ω=

π

4

，∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

），
∵x∈[0，1]，∴

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

12

]，
∴sin（

π

4

x+

π

3

）∈[

3

2

，1]
∴f（x）∈[3，2

3

]，
∴函數f（x）的值域為：[3，2

3

]；
（2）∵f（x₀）=

8 3

5

，
∴f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

8 3

5

，
化簡可得sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，
∵x₀∈（-

10

3

，

2

3

），∴（

π

4

x₀+

π

3

）∈（-

π

2

，

π

2

）
∴cos（

πx0

4

+

π

3

）=

1-sin2( πx0 4 + π 3 )

=

3

5

點評：本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及同角三角函數的基本關系和三角函數的值域，屬中檔題．