已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)．若橢圓的長軸長是6，且cos∠OFA=
2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)R（0，1）與橢圓C上的點(diǎn)N之間的最大距離；
（Ⅲ）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)P（-3，0），交y軸于點(diǎn)M．若
MQ
=2
QP
，求直線l的斜率．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）依題意，根據(jù)cos∠OFA=
2
3
，求出c，進(jìn)而可求b，則橢圓的方程可得；
（Ⅱ）用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合配方法，即可求出點(diǎn)R（0，1）與橢圓C上的點(diǎn)N之間的最大距離；
（Ⅲ）設(shè)出直線l的方程，則M的坐標(biāo)可得，設(shè)出Q的坐標(biāo)，根據(jù)
MQ
=2
QP
，求得x1和y1代入橢圓方程求得k．
解答： 解：（Ⅰ）由題意知，點(diǎn)A是橢圓C短軸的端點(diǎn)．
設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，半焦距為c（c＞0）
在Rt△OFA中，cos∠OFA=
2
3
，
∵a=3，∴c=2，
∴b2=5
∴橢圓C的方程為
x2
9
+
y2
5
=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)N（x0，y0），
∵N在橢圓上，∴
x02
9
+
y02
5
=1，
∴x02=9-
9
5
y02，
∴|RN|2=x02+(y0-1)2=-
4
5
y02-2y0+10…（8分）
∵y0∈[-
5
，
5
]
∴當(dāng)y0=-
5
4
時(shí)，|RN|max=
3
5
2
．…（9分）
（Ⅲ）根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=k（x+3），點(diǎn)M（0，3k）
設(shè)Q(x1，y1)，由于
MQ
=2
QP

∴（x1，y1-3k）=2（-3-x1，-y1）
解得：x1=-2，y1=k…（12分）
又Q在橢圓上，得
(-2)2
9
+
k2
5
=1，解得：k=±
5
3
…（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若橢圓Γ上存在點(diǎn)P，使△PF1F2是以F1P為底邊的等腰三角形，則橢圓Γ的離心率的取值范圍是（　�。�
A、（0，
1
2
）
B、（0，
1
3
）
C、（
1
2
，1）
D、（
1
3
，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，DP⊥x軸，點(diǎn)M在DP的延長線上，
|DM|
|DP|
=
3
2
，當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動時(shí)，
（1）求：動點(diǎn)M的軌跡E的方程； 
（2）若B（-2，0），C（1，0），A是曲線E上的一個(gè)動點(diǎn)，求：
AB
•
AC
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直線x-
3
y+
3
=0經(jīng)過橢圓C的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上動點(diǎn)，求|4-（|PF′|+|PB|）|的取值范圍，并求取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判斷并證明：函數(shù)f（x）=
2x+3
x+1
在（-1，﹢∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，-1），B（0，1），直線AC，直線BC的斜率之積等于m（m0），求頂點(diǎn)C的軌跡方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線．
（2）已知圓M的方程為：（x+1）2+y2=（2a）2（a＞0，且a1），定點(diǎn)N（1，0），動點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動，線段PN的垂直平分線與直線MP相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓的方程為E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，斜率為1的直線不經(jīng)過原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．
（1）問：直線OM與AB能否垂直？若能，a，b之間滿足什么關(guān)系；若不能，說明理由；
（2）已知M為ON的中點(diǎn)，且N點(diǎn)在橢圓上．若∠OAN=
π
2
，求橢圓的離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

編寫一個(gè)程序，輸入正整數(shù)n，計(jì)算2×4×6×…×2n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出S=7，則輸入k（k∈N*）的值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案