Question

【題目】已知函數(shù)和，

（Ⅰ）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的公共點，且在點處有公共切線，求點的坐標及實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2),.

【解析】分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導，得，然后分，，分三種情況討論單調(diào)區(qū)間。

（Ⅱ）設(shè)點，由公切線可知在處導數(shù)相等且函數(shù)值相等，得，所以設(shè)函數(shù)，由導數(shù)可求得.。

詳解：（Ⅰ）,

（1）當時，

在時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

在時，，函數(shù)在單調(diào)遞減；

在時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增

（2）當時，在時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增

（3）當時，在時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

在時，,函數(shù)在單調(diào)遞減；

在時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增

綜上：

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是

（Ⅱ）設(shè)點，在點處有公切線，設(shè)切線斜率為

因，

所以，即

由是函數(shù)與函數(shù)圖象的公共點，所以

，

化簡可得

將代入，得

設(shè)函數(shù)

因為，，函數(shù)在單調(diào)遞減，

因為，

所以在時只有一個零點

由

知方程在只有一個實數(shù)根

代入：，

所以，此時：.