Question

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量、、滿足：-（y+1-lnx）+=，（O不在直線l上，a＞0）
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求a的范圍；
（3）求證：lnn＞+++…+對(duì)n≥2的正整數(shù)n恒成立．

Answer 1

解：（1）由已知得：=（y+1-lnx） +，由A、B、C共線得：
y+1-lnx+=1，整理得：y=lnx+
（2）f（x）=lnx+=lnx+-
∴f′（x）=-≥0在x∈[1，+∞）上恒成立
∴a≥在x∈[1，+∞）上的最大值，又≤1
∴a≥1
證明：（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx+-1
由（2）知當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=lnx+-1≥f（1）=0
∴l(xiāng)nx≥1-（僅x=1時(shí)取“=”）
令x=得：ln＞1-，即：ln＞
∴l(xiāng)n+ln+ln+…+ln＞+++…+
分析：（1）根據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件，可得y+1-lnx+=1，整理可得y=f（x）的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，進(jìn)而求出a的范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx+-1，結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性，可得lnx≥1-，令x=得：ln＞，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不等式的證明，函數(shù)解析式的求法，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)與不等式問(wèn)題的綜合應(yīng)用，難度較大．