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【題目】已知與曲線相切的直線,與軸, 軸交于兩點, 為原點, , ,( .

1)求證: 相切的條件是: .

2)求線段中點的軌跡方程;

3)求三角形面積的最小值.

【答案】(1)見解析;(2);(3)

【解析】試題分析:(1)寫出直線的截距式方程,化為一般式,化圓的一般式方程為標準式,求出圓心坐標和半徑,由圓心到直線的距離等于半徑得到曲線C與直線l相切的充要條件;
(2)設出線段AB的中點坐標,由中點坐標公式得到a,bAB中點坐標的關系,代入(1)中的條件得線段AB中點的軌跡方程.(3)因為ab都大于2,且三角形AOB為直線三角形,要求面積的最小值即要求ab的最小值,根據(1)中直線l與圓相切的條件(a-2)(b-2)=2解出ab,然后利用基本不等式即可求出ab最小時當且經當ab相等,求出此時的ab即可求出面積的最小值.

試題解析:

(1)圓的圓心為,半徑為1.可以看作是的內切圓。

內切圓的半徑

,

(2)線段AB中點

(3) ,

,

解得, ,

,

最小面積

練習冊系列答案
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