【題目】已知圓恰好經(jīng)過橢圓的兩個焦點和兩個頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過原點的直線 (不與坐標軸重合)交橢圓于兩點， 軸，垂足為，連接并延長交橢圓于，證明：以線段為直徑的圓經(jīng)過點.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由恰好經(jīng)過橢圓的兩個焦點和兩個頂點可得， 從而可得橢圓的方程；（2）設直線的斜率為，可得線的斜率為， 的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求得的坐標，可得直線的斜率為，即得，以線段為直徑的圓一定經(jīng)過點.

試題解析：（1）由題意可知， ， ，

所以橢圓的方程為.

（2）證明：設直線的斜率為， ，在直線的方程為，

.

直線的斜率為，所以直線的方程為，

聯(lián)立得，

記橫坐標分別為.由韋達定理知: ,

所以，于是，

所以直線的斜率為，

因為.所以，

所以以線段為直徑的圓一定經(jīng)過點.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓標準方程及曲線過定點問題，屬于難題.解決曲線過定點問題一般有兩種方法：① 探索曲線過定點時，可設出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于曲線系的思想找出定點，或者利用方程恒成立列方程組求出定點坐標.② 從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】4月23日是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動，為了解本校學生課外閱讀情況，學校隨機抽取了100名學生對其課外閱讀時間進行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生日均課外閱讀時間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖，若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書謎”，低于60分鐘的學生稱為“非讀書謎”

（1）求的值并估計全校3000名學生中讀書謎大概有多少？（將頻率視為概率）

（2）根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為“讀書謎”與性別有關？

非讀書迷

讀書迷

合計

男

15

女

45

合計

附：.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,小明想將短軸長為2,長軸長為4的一個半橢圓形紙片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE內(nèi)接于半橢圓,DE∥AB,AB為短軸,OC為長半軸

(1)求梯形ABDE上底邊DE與高OH長的關系式;

(2)若半橢圓上到H的距離最小的點恰好為C點,求底邊DE的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)， 是數(shù)列的前項和，且.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）已知，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A、B、C的 對邊分別為a、b、c，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求tanA及tanC的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），， .

（1）若，且直線分別與函數(shù)和的圖象交于，求兩點間的最短距離；

（2）若時，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知與曲線相切的直線，與軸， 軸交于兩點， 為原點， ， ，（ ）.

（1）求證:： 與相切的條件是： .

（2）求線段中點的軌跡方程；

（3）求三角形面積的最小值.

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【題目】函數(shù)y=cosπx的圖象與函數(shù)y=（ ）|x﹣1|（﹣3≤x≤5）的圖象所有交點的橫坐標之和等于（ ）
A.4
B.6
C.8
D.10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的對稱軸為坐標軸，離心率為，且一個焦點坐標為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形，其中點在橢圓上， 為坐標原點，求點到直線的距離的最小值．

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