Question

已知函數(shù)f₁（x）=-ax²，f₂（x）=x³+x²，f（x）=f₁（x）+f₂（x），設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若不等式f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即-ax²＜3x²+2（1-a）x＜x³+x²恒成立，-ax²＜3x²+2（1-a）x可化為（a+3）x+2（1-a）＞0，由一次函數(shù)的性質(zhì)可求a的范圍；3x²+2（1-a）x＜x³+x²可化為2a＞-x²+2x+2，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值即可．

解答： 解：f（x）=-ax²+x³+x²=x³+（1-a）x²，f′（x）=3x²+2（1-a）x，
f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即-ax²＜3x²+2（1-a）x＜x³+x²恒成立，
-ax²＜3x²+2（1-a）x，可化為（a+3）x+2（1-a）＞0，
∴

a+3≥0 a+3+2(1-a)≥0

，解得-3≤a≤5①；
3x²+2（1-a）x＜x³+x²可化為2a＞-x²+2x+2，
而-x²+2x+2=-（x-1）²+3＜3，
∴2a≥3，即a≥

3

2

②，
由①②可得

3

2

≤a≤5，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

3

2

，5]．
故答案為：[

3

2

，5]．

點(diǎn)評：該題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)恒成立，考查不等式的求解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．