Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+

1

2

ax²-2ax+2a+1的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用最值異號可以求解．

解答： 解：∵f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2）．
若a＜0，
則當(dāng)x＜-2或x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，
從而有f（-2）＜0，且f（1）＞0，
即：

-8a+24a+3＜0 1 3 a+ 1 2 a+1＞0

，
∴-

6

5

＜a＜-

3

16

，
若a＞0，
則當(dāng)x＜-2或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
從而有f（-2）＞0，且f（1）＜0，無解，
綜合以上：-

6

5

＜a＜-

3

16

；
故答案為：（-

6

5

，-

3

16

）．

點(diǎn)評：本題主要考查三次函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值可以解決．