【題目】如圖,已知雙曲線C1: ,曲線C2:|y|=|x|+1,P是平面內(nèi)一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與C1 , C2都有公共點(diǎn),則稱P為“C1﹣C2型點(diǎn)”
(1)在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)“時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn),求證|k|>1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓x2+y2= 內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1﹣C2型點(diǎn)”
【答案】
(1)解:C1的左焦點(diǎn)為( ),寫出的直線方程可以是以下形式:
或 ,其中 .
(2)證明:因?yàn)橹本y=kx與C2有公共點(diǎn),
所以方程組 有實(shí)數(shù)解,因此|kx|=|x|+1,得 .
若原點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”,則存在過原點(diǎn)的直線與C1、C2都有公共點(diǎn).
考慮過原點(diǎn)與C2有公共點(diǎn)的直線x=0或y=kx(|k|>1).
顯然直線x=0與C1無公共點(diǎn).
如果直線為y=kx(|k|>1),則由方程組 ,得 ,矛盾.
所以直線y=kx(|k|>1)與C1也無公共點(diǎn).
因此原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”.
(3)證明:記圓O: ,取圓O內(nèi)的一點(diǎn)Q,設(shè)有經(jīng)過Q的直線l與C1,C2都有公共點(diǎn),顯然l不與x軸垂直,
故可設(shè)l:y=kx+b.
若|k|≤1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間,因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間,
從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點(diǎn),矛盾,所以|k|>1.
因?yàn)閘與C1由公共點(diǎn),所以方程組 有實(shí)數(shù)解,
得(1﹣2k2)x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0.
因?yàn)閨k|>1,所以1﹣2k2≠0,
因此△=(4kb)2﹣4(1﹣2k2)(﹣2b2﹣2)=8(b2+1﹣2k2)≥0,
即b2≥2k2﹣1.
因?yàn)閳AO的圓心(0,0)到直線l的距離 ,
所以 ,從而 ,得k2<1,與|k|>1矛盾.
因此,圓 內(nèi)的點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”.
【解析】(1)由雙曲線方程可知,雙曲線的左焦點(diǎn)為( ),當(dāng)過左焦點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)滿足左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”,當(dāng)斜率存在時(shí),要保證斜率的絕對值大于等于該焦點(diǎn)與(0,1)連線的斜率;(2)由直線y=kx與C2有公共點(diǎn)聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解得到|k|>1,分過原點(diǎn)的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過遠(yuǎn)點(diǎn)的直線不可能同時(shí)與C1和C2有公共點(diǎn);(3)由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=﹣x±1之間,進(jìn)而說明當(dāng)|k|≤1時(shí)過圓 內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2無公共點(diǎn),當(dāng)|k|>1時(shí),過圓 內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2有公共點(diǎn),再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍,結(jié)果與|k|>1矛盾.從而證明了結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)到直線的距離公式的相關(guān)知識,掌握點(diǎn)到直線的距離為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時(shí),按銷售利潤的16%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì);當(dāng)銷售利潤超過10萬元時(shí),若超出A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).記獎(jiǎng)金y(單位:萬元),銷售利潤x(單位:萬元)
(1)寫出該公司激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型;
(2)如果業(yè)務(wù)員老張獲得5.6萬元的獎(jiǎng)金,那么他的銷售利潤是多少萬元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an是Sn與2的等差中項(xiàng),數(shù)列{bn}中,b1=1,點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上。
(1)求a1和a2的值;
(2)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)an和bn;
(3)設(shè)cn=an·bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015秋隨州期末)甲命題:若隨機(jī)變量ξ~N(3,σ2),若P(ξ≤2)=0.3,則P(ξ≤4)=0.7.乙命題:隨機(jī)變量η﹣B(n,p),且Eη=300,Dη=200,則P=,則正確的是( )
A. 甲正確乙錯(cuò)誤 B. 甲錯(cuò)誤乙正確
C. 甲錯(cuò)誤乙也錯(cuò)誤 D. 甲正確乙也正確
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平測試,學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績抽樣調(diào)查,先將800人按001,002,…,800進(jìn)行編號.
(1)如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀,請你依次寫出最先檢查的3個(gè)人的編號;
(下面摘取了第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚?/span>
成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級;橫向,縱向分別表示地理成績與數(shù)學(xué)成績,例如:表中數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己玫墓灿?/span>20+18+4=42.
人數(shù) | 數(shù)學(xué) | |||
優(yōu)秀 | 良好 | 及格 | ||
| 優(yōu)秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | a | 4 | b |
①若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率是30%,求a,b的值:
②在地理成績及格的學(xué)生中,已知求數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)﹣b 是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)g(x)=x3﹣3x2的圖象向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,求此時(shí)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo);
(2)求函數(shù)h(x)= 圖象對稱中心的坐標(biāo);
(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)﹣b 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改,使之成為真命題(不必證明).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)說偉大的阿基米德逝世后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑,在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案,圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.
(1)試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比;
(2)假設(shè)球半徑.試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),交軸正半軸于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)的面積為,求的最小值及此時(shí)直線的方程.
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