Question

已知x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
（1）求函數(shù)y=cosx的值域；
（2）求函數(shù)y=-3sin²x-4cosx+4的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）在單位圓中畫出余弦函數(shù)線，直接由三角函數(shù)線得到函數(shù)y=cosx的值域；
（2）利用（1）中求出的cosx的范圍，化正弦為余弦，配方后求函數(shù)y=-3sin²x-4cosx+4的值域．

解答： 解：（1）∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
如圖，

由余弦函數(shù)線可知，函數(shù)y=cosx的值域為[-

1

2

，1]；
（2）y=-3sin²x-4cosx+4
=-3（1-cos²x）-4cosx+4
=3cos²x-4cosx+1
=3(cosx-

2

3

)2-

1

3

．
∵cosx∈[-

1

2

，1]，
∴(cosx-

2

3

)2∈[0，

49

36

]，
則3(cosx-

2

3

)2-

1

3

∈[-

1

3

，

15

4

]．
∴函數(shù)y=-3sin²x-4cosx+4的值域是[-

1

3

，

15

4

]．

點評：本題考查了利用三角函數(shù)線求余弦函數(shù)的值域，考查了配方法求函數(shù)的最值，考查了計算能力，是中檔題．