Question

14．求下列函數(shù)的值域：
①y=sin（3x+$\frac{π}{6}$）（-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$）；
②y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$；
③y=sin（$\frac{π}{4}-2x$）（$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的相位角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得相應(yīng)正弦型函數(shù)的值域．

解答 解：①∵-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{π}{3}$≤3x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，
當(dāng)3x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$時，函數(shù)取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)3x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最大值1，
故函數(shù)y=sin（3x+$\frac{π}{6}$）（-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$）的值域為[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
②∵x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$$∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，函數(shù)取最小值-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最大值1，
故函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]；
③∵$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$，
∴$-\frac{π}{4}≤$$\frac{π}{4}-2x$$≤\frac{3π}{4}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{4}$時，函數(shù)取最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最大值1，
故函數(shù)y=sin（$\frac{π}{4}-2x$）（$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$）的值域為[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]；

點評 本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．