Question

有n粒球（n≥2，n∈N^*），任意將它們分成兩堆，求出兩堆球的乘積，再將其中一堆任意分成兩堆，求這出兩堆球的乘積，如此下去，每次任意將其中一堆分成兩堆，求這出兩堆球的乘積，直到每堆球都不能再分為止，記所有乘積之和為S_n．例如對(duì)于4粒球有如下兩種分解：
（4）→（1，3）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此時(shí)S₄=1×3+1×2+1×1=6；
（4）→（2，2）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此時(shí)S₄=2×2+1×1+1×1=6．
于是發(fā)現(xiàn)S₄為定值，請(qǐng)你研究S_n的規(guī)律，歸納S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：新定義

分析：從n=1開始研究，到n=2，n=3，n=4，n=5，…找出S_n的共性，得到和的一般性規(guī)律，從而解決本題．

解答： 解：（2）→（1，1），此時(shí)S₂=1×1=1；
（3）→（1，2）→（1，1，1），此時(shí)S₃=1×2+1×1=2+1=3；
（4）→（1，3）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此時(shí)S₄=1×3+1+2+1×1=3+2+1=6；
（5）→（1，4）→（1，1，3）→（1，1，1，2）→（1，1，1，1，1），
此時(shí)S₅=1×4+1×3+1×2+1×1=4+3+2+1=10；
歸納猜想：Sn=(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1=

1+(n-1)

2

×(n-1)=

n2-n

2

．
故答案為：

n2-n

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是歸納推理，要求學(xué)生理解本題的新定義的規(guī)律，從出發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到本題的解．另外，本題還可以嘗試從S₅=4+S₄的角度去尋找解題規(guī)律．