Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=e|x|+ln

x2+1

，且f（x+t）＞f（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立，則關(guān)于x的方程f（2x-1）=f（t）-e的根的個數(shù)敘述正確的是（　　）

• A、有兩個
• B、有一個
• C、沒有
• D、上述情況都有可能

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，確定t的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)f（x）和y=f（t）-e的關(guān)系，即可求出方程根的個數(shù)．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）=e|x|+ln

x2+1

為偶函數(shù)，
且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，如圖所示．
∴函數(shù)f（x+t）=e|x+t|+ln

(x+t)2+1

．
∵f（x+t）＞f（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立，
函數(shù)y=f（x+t）在（-1，+∞）上的圖象位于y=f（x）
的圖象的上方．
當(dāng)x=-1時，f（x+t）=e|-1+t|+ln

(-1+t)2+1

，
f（x）=e|-1|+ln

(-1)2+1

，
由f（x+t）=f（x），
可得 e|-1+t|+ln

(-1+t)2+1

=e|-1|+ln

(-1)2+1

，解得t=2．
故需把函數(shù)f（x）=e|x|+ln

x2+1

的圖象至少向左平移2個單位，
才可得到函數(shù)y=f（x+t）的圖象，∴t≥2，
∴f（t）-e≥f（2）-e＞1．
由于函數(shù)y=f（2x-1）的值域為[1，+∞），
故函數(shù)y=f（2x-1）的圖象和直線y=f（t）-e有2個交點，
∴關(guān)于x的方程f（2x-1）=f（t）-e的根有2個，
故選：A．

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系判斷t的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．