Question

【題目】已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．

（1）求圓C的方程；

（2）若=﹣2，求實(shí)數(shù)k的值；

（3）過點(diǎn)（0，4）作動直線m交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．試問：在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=4（2）0（3）存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圓C的方程；（2）由

，得∠POQ=120°，圓心C到直線l：kx-y+1=0的距離d=1，由此能求出k=0；（3）當(dāng)直線m的斜率不存在時，圓C也是滿足題意的圓；當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m：y=kx+4，由，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出在以EF為直徑的所有圓中，存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）．

試題解析：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．

因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，即，

解得a=0，r=2， 所以圓C的方程是x2+y2=4．…………………3分

（2）因?yàn)?/span>=2×2×cos＜，＞=﹣2，且與的夾角為∠POQ，

所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，

所以圓心C到直線l：kx﹣y+1=0的距離d=1，

又d=，所以k=0．…………………6分

（3）（ⅰ）當(dāng)直線m的斜率不存在時，

直線m經(jīng)過圓C的圓心C，

此時直線m與圓C的交點(diǎn)為E（0，2），F(xiàn)（0，﹣2），

EF即為圓C的直徑，而點(diǎn)M（2，0）在圓C上，

即圓C也是滿足題意的圓．…………………7分

（ⅱ）當(dāng)直線m的斜率存在時，設(shè)直線m：y=kx+4，

由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，

由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．

設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

則有①…………………8分

由①得，②，③…………………9分

若存在以EF為直徑的圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0），則ME⊥MF，

所以，

因此（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，

即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，…

則，

所以16k+32=0，k=﹣2，滿足題意．…………………10分

此時以EF為直徑的圓的方程為x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0，

即，

亦即5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0．…………………11分

綜上，在以EF為直徑的所有圓中，

存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)M（2，0）．………12分