Question

已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底）

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，求的最小值；

（3）若對(duì)任意的，在上存在兩個(gè)不同的使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）時(shí)，

由得     得

故的減區(qū)間為  增區(qū)間為           

（2）因?yàn)?sub>在上恒成立不可能

故要使在上無零點(diǎn)，只要對(duì)任意的，恒成立

即時(shí)，                     

令

則

再令

    于是在上為減函數(shù)

故在上恒成立

在上為增函數(shù)  在上恒成立

又故要使恒成立，只要

若函數(shù)在上無零點(diǎn)，的最小值為         

（3）

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)

        函數(shù)在上的值域?yàn)?sub>                    

        當(dāng)時(shí)，不合題意

當(dāng)時(shí)，

故

①                                   

此時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

時(shí)，，

任意定的，在區(qū)間上存在兩個(gè)不同的 

使得成立，

當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件

即   ②

即   ③                     

令

  令得

當(dāng)時(shí)，  函數(shù)為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，  函數(shù)為減函數(shù)

所以在任取時(shí)有即②式對(duì)恒成立       

由③解得   ④

由①④ 當(dāng)時(shí)

對(duì)任意，在上存在兩個(gè)不同的使成立