Question

2．正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，且a₂，a₃+4，2a₆-4成等比數(shù)列，a_n前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：$\frac{2}{{S}_{1}+2}$+$\frac{2}{{S}_{2}+2}$+…+$\frac{2}{{S}_{n}+2}$＜1．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等比數(shù)列的性質(zhì)，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程解得d=2，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，以及$\frac{2}{{S}_{n}+2}$=$\frac{2}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），由裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁=4，且a₂，a₃+4，2a₆-4成等比數(shù)列，
可得（a₃+4）²=a₂（2a₆-4），
即為（8+2d）²=（4+d）（4+10d），
解得d=2（-4舍去），
即有a_n=4+2（n-1）=2n+2；
（2）證明：前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}$n（2n+6）=n（n+3），
即有$\frac{2}{{S}_{n}+2}$=$\frac{2}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$
=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
則$\frac{2}{{S}_{1}+2}$+$\frac{2}{{S}_{2}+2}$+…+$\frac{2}{{S}_{n}+2}$=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=1-$\frac{2}{n+2}$＜1．
故$\frac{2}{{S}_{1}+2}$+$\frac{2}{{S}_{2}+2}$+…+$\frac{2}{{S}_{n}+2}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用以及等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．