Question

已知定義在R的函數(shù)f（x），滿(mǎn)足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，則不等式f（x）+1＜2e^x的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)+1

ex

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)+1

ex

，則g′（x）=

f′(x)-f(x)-1

ex

，
∵滿(mǎn)足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞減，g（0）=f（0）+1=2．
∴不等式f（x）+1＜2e^x變?yōu)?span id="iqkwuss" class="MathJye">

f(x)+1

ex

＜2
∴g（x）＜g（0），
解集為{x|x＞0}．
故答案為：{x|x＞0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．