Question

已知橢圓C：3x²+y²=12，直線x-y-2=0交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及長(zhǎng)軸長(zhǎng)；
（Ⅱ）求以線段AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵橢圓C：3x²+y²=12，
∴

x2

4

+

y2

12

=1，
由方程可知：a²=12，b²=4，c²=a²-b²=8，c=2

2

．…（3分）
∴橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2

2

)，(0，-2

2

)，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a為4

3

．…（5分）
（Ⅱ）由

3x2+y2=12 x-y-2=0

，
得：x²-x-2=0．
解得：x=2或x=-1．
∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（-1，-3）．…（7分）
∴A，B中點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

2

，-

3

2

)，
∴|AB|=

(2+1)2+(0+3)2

=3

2

．…（9分）
∴以線段AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(

1

2

，-

3

2

)，半徑為

3 2

2

．
∴以線段AB為直徑的圓的方程為(x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=

9

2

．…（11分）