Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）求異面直線BD和AA₁所成的角；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（3）在直線CC₁上否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的定義即可求異面直線BD和AA₁所成的角；
（2）求平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（3）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：連接BD交AC于O，
則BD⊥AC，連接A₁O，
在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°，
∴A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AO•cos60°=3．
∴AO²+A₁O²=AA₁²．
∴A₁O⊥AO，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
∴A₁O⊥平面ABCD．
∴以O(shè)B、OC、OA₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-1，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），D（-

3

，0，0），A₁（0，0，

3

）．
（1）∵

BD

=（-2

3

，0，0），

AA1

=（0，1，

3

），
∴

AA1

•

BD

=0×（-2

3

）+1×0+

3

×0=0，
∴BD⊥AA₁，即異面直線BD和AA₁所成的角為90°．
（2）∵OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的法向量

n1

=（1，0，0）．
設(shè)

n2

=（x，y，z）是平面AA₁D的一個法向量，
則

n2 • AA1 =y+ 3 z=0 n2 • AD =- 3 x+y=0

，取

n2

=（1，

3

，-1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

5

5

．
（3）假設(shè)直線CC₁上存在點P，使BP∥平面DA₁C₁，
設(shè)

CP

=λ

CC1

，P（x，y，z），
則（x，y-1，z）=λ（0，1，

3

），
則x=0，y=1+λ，z=

3

λ，即P（0，1+λ，

3

λ），

BP

=(-

3

，1+λ，

3

λ)，
設(shè)

n3

=（x，y，z）是平面DA₁C₁的一個法向量，則

n3 • A1C1 =2y=0 n3 • DA1 = 3 x+ 3 z=0

，
不妨取

n3

=（1，0，-1），
∵

BP

∥平面DA₁C₁，
∴

n3

•

BP

=0，
即-

3

-

3

λ=0，解得λ=-1，
即點P在CC₁上的延長線上，且CC₁=CP．

點評：本題主要考查異面直線所成角的求解，二面角的大小計算，建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決此類問題的 基本方法．