Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+1$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)定義得出f（0）=0，當(dāng)x＞0時$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+1$，設(shè)x＜0，則-x＞0，轉(zhuǎn)化求解f（x）=-f（-x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x-1=-2^x-1，得出解析式即可
（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x＜0時，x∈（-∞，0）時，為單調(diào)遞減函數(shù)，求解值域就簡單的多了．

解答 解；（1）∵函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∵當(dāng)x＞0時$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+1$，
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x-1=-2^x-1，
即$\begin{array}{l}f（x）=\left\{{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^x}+1（x＞0）\\ 0（x=0）\end{array}\\{-{2^x}-1（{x＜0}）}\end{array}}\right.\end{array}$．
（2）∵當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時，1＜（$\frac{1}{2}$）^x+1＜2，
∵當(dāng)x＜0時，x∈（-∞，0）時，為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴1＜2^x+1＜2，
-2＜-2^x-1＜-1，
故值域（-2，-1）∪{0}∪（1，2）

點評 本題考察了奇函數(shù)的性質(zhì)，求解單調(diào)性，值域，屬于中檔題，考察了學(xué)生對于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的熟練掌握．