Question

設函數f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：f′（

x1x2

）＜0（f′（x）為函數f（x）的導函數）；
（3）設g（x）=3ax²-ax+2+a，若f（x）+e^-x≥g（x）對x∈R恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）由f（x）=e^x-ax+a，知f′（x）=e^x-a，再由a的符號進行分類討論，能求出f（x）的單調區(qū)間，然后根據交點求出a的取值范圍；
（2）由x₁、x₂的關系，求出f′(

x1+x2

2

)＜0，然后再根據f′（x）=e^x-a的單調性，利用不等式的性質，問題得以證明；
（3）F（x）是偶函數，可得f（x）+e^-x≥g（x）對x∈R恒成立?F（x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立．分類討論，確定函數的單調性，即可求a取值范圍．

解答： （1）解：f'（x）=e^x-a．
若a≤0，則f'（x）＞0，則函數f（x）是單調增函數，這與題設矛盾．
∴a＞0，令f'（x）=0，則x=lna．
當x＜lna時，f'（x）＜0，f（x）是單調減函數；x＞lna時，f'（x）＞0，f（x）是單調增函數；
于是當x=lna時，f（x）取得極小值．
∵函數f（x）=e^x-ax+a（a∈R）的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴f（lna）=a（2-lna）＜0，
即a＞e²．此時，存在1＜lna，f（1）=e＞0；
存在3lna＞lna，f（3lna）=a³-3alna+a＞a³-3a²+a＞0，
又f（x）在R上連續(xù)，故a＞e²為所求取值范圍．…（4分）
（2）證明：∵

ex1-ax1+a=0 ex2-ax2+a=0

兩式相減得a=

ex2-ex1

x2-x1

．
記

x2-x1

2

=s(s＞0)，則f′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

-

ex2-ex1

x2-x1

=

e x1+x2 2

2s

[2s-(es-e-s)]，
設g（s）=2s-（e^s-e^-s），則g′（s）=2-（e^s+e^-s）＜0，∴g（s）是單調減函數，
則有g（s）＜g（0）=0，而

e x1+x2 2

2s

＞0，∴f′(

x1+x2

2

)＜0．
又f'（x）=e^x-a是單調增函數，且

x1+x2

2

＞

x1x2

∴f′(

x1x2

)＜0．                         …（8分）
（3）解：設F（x）=f（x）+e^-x-g（x）=e^x+e^-x-3ax²-2
∵F（-x）=F（x），
∴F（x）是偶函數
∴f（x）+e^-x≥g（x）對x∈R恒成立?F（x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立．
F′（x）=e^x-e^-x-6ax，設h（x）=（F′（x））′=e^x+e^-x-6a
∴h′（x）=e^x+e^-x=

e2x-1

ex

≥0
∴h（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增，h（x）≥h（0）=2-6a
①當2-6a≥0?a≤

1

3

時，h（x）≥h（0）=2-6a≥0⇒F′（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增
∴F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增
∴F（x）≥F（0）=0對x∈[0，+∞）恒成立
②當2-6a＜0?a＞

1

3

時，h（0）=2-6a＜0
∵h（x）在x∈[0，+∞）上單調遞增，又h(ln6a)=

1

6a

＞0
故?x₀∈（0，+∞），使h（x₀）=0
當x∈（0，x₀）時，h（x）＜0⇒F′（x）在（0，x₀）單調遞減⇒F′（x）＜F′（x）=0
當x∈（0，x₀）時，F（x）單調遞減，此時，F（x）≥F（0）=0對x∈[0，+∞）不恒成立
綜上，當a≤

1

3

時，F（x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立，即f（x）+e^-x≥g（x）對x∈R恒成立       …（14分）

點評：本題屬于難題，考查分類討論的思想，轉化思想，方程思想，做題要認真仔細，方法要明，過程要嚴謹，能提高分析問題解決問題的能力．