Question

一個多面體的三視圖如圖所示，M，N分別是A₁B、B₁C₁點中點．
（Ⅰ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直線BC₁與平面A₁BC所成角的大��；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC₁，AB₁，便能得到MN∥AC₁，并且容易證明AC₁⊥平面A₁BC，這樣即可得到MN⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）通（Ⅰ）容易得到∠OBC₁為直線BC₁和平面A₁BC所成的角，在Rt△OBC₁中，根據(jù)邊的關(guān)系求出這個角即可．
（Ⅲ）先作出二面角的平面角，根據(jù)（Ⅰ）過O作OE⊥A₁B，交A₁B于E，連接AE，容易得出∠AEO即為所求二面角的平面角，在Rt△AOE中根據(jù)變的關(guān)系求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）連接AC₁，AB₁，則MN∥AC₁，BC⊥平面ACC₁A₁，AC₁?平面ACC₁A₁；
∴BC⊥AC₁，即AC₁⊥BC，又AC₁⊥A₁C，A₁C∩BC=C；
∴AC₁⊥平面A₁BC，∴MN⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）設(shè)AC₁∩A₁C=O，連接OB，則：∠C₁BO即為直線BC₁與平面A₁BC所成角，在Rt△C₁BO中：
C1O=

2

2

a，BC1=

2

a，∠C1OB=90°；
∴sin∠C1BO=

1

2

，∴∠C₁BO=30°；
∴直線BC₁與平面A₁BC所成角為30°．
（Ⅲ）過O作OE⊥A₁B，交A₁B于E，連接AE；
∵AC₁⊥平面A₁BC，∴A₁B⊥AE；
∴∠OEA即為二面角A-A₁B-C的平面角；
sin∠CA1B=

a

3 a

=

3

3

，∴OE=

2 a

2

•

3

3

=

6 a

6

；
∴在Rt△AOE中，tan∠OEA=

2 a 2

6 a 6

=

3

，∴∠OEA=60°；
∴二面角A-A₁B-C的大小為60°．∬

點評：考查線面垂直的判定定理，線面角的概念及求法，直角三角形邊角的關(guān)系，二面角的概念、二面角的平面角的概念及求法．