【題目】已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且， ．

（1）求的極值；

（2）求證：對任意，都有．

【答案】（I）， ;（II）見解析.

【解析】試題分析：（I）由題意，令且 所以由的單調(diào)性可知的極小值為極大值為

（II）且從而問題轉(zhuǎn)化為在

上恒成立.

試題解析：

（I）依題意得，

知在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)

∴，

（II）法1：易得時， ，

依題意知，只要

由知，只要

令img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/13/326babff/SYS201712291339206689357083_DA/SYS201712291339206689357083_DA.027.png" width="169" height="27" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，則

注意到，當時， ；當時， ，

即在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，

即，綜上知對任意，都有

法2：易得時， ，

由知, ,令

則

注意到，當時， ；當時， ，

即在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)， ，所以,

即.

綜上知對任意，都有.

法3: 易得時， ，

由知, ,令,則

令,則,知在遞增,注意到,所以, 在上是減函數(shù)，在是增函數(shù),有,即

綜上知對任意，都有.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有道數(shù)學題，其中道選擇題， 道填空題，小明從中任取道題，求：

（1）所取的道題都是選擇題的概率；

（2）所取的道題不是同一種題型的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為推行“新課堂”教學法，某化學老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式，在甲、乙兩個班級中進行教學實驗，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計，作出的莖葉圖如下圖，記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”．

（1）分別計算甲、乙兩班20個樣本中，化學分數(shù)前十的平均分，并大致判斷哪種教學方式的教學效果更佳；

（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關(guān)”？

附：參考公式： ，其中．

臨界值表：

0．10

0．05

0．025

0．010

2．706

3．841

5．024

6．635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知 ，且cos（α﹣β）= ，sin（α+β）=﹣ ，求：cos2α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（是大于的常數(shù)）的左、右頂點分別為、，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線、與直線分別交于、兩點（設(shè)直線的斜率為正數(shù)）.

（Ⅰ）設(shè)直線、的斜率分別為， ，求證為定值.

（Ⅱ）求線段的長度的最小值.

（Ⅲ）判斷“”是“存在點，使得是等邊三角形”的什么條件？（直接寫出結(jié)果）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學數(shù)學老師分別用兩種不同教學方式對入學數(shù)學平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班（人數(shù)均為20人）進行教學（兩班的學生學習數(shù)學勤奮程度和自覺性一致），數(shù)學期終考試成績莖葉圖如下：

（1）學校規(guī)定：成績不低于75分的為優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關(guān)”．

附：參考公式及數(shù)據(jù)

（2）從兩個班數(shù)學成績不低于90分的同學中隨機抽取3名，設(shè)為抽取成績不低于95分同學人數(shù)，求的分布列和期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】每年的4月23日為世界讀書日，為調(diào)查某高校學生（學生很多）的讀書情況，隨機抽取了男生，女生各20人組成的一個樣本，對他們的年閱讀量（單位：本）進行了統(tǒng)計，分析得到了男生年閱讀量的頻數(shù)分布表和女生年閱讀量的頻率分布直方圖.

男生年閱讀量的頻數(shù)分布表（年閱讀量均在區(qū)間內(nèi)）

（Ⅰ）根據(jù)女生年閱讀量的頻率分布直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數(shù)；

（Ⅱ）若年不小于40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據(jù)上述樣本研究年閱讀量與性別的關(guān)系，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為閱讀豐富與性別有關(guān)；

（Ⅲ）在樣本中，從年閱讀量在的學生中，隨機抽取2人參加全市的征文比賽，記這2人中男生人數(shù)為，求的分布列和期望.

附： ，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設(shè)∠AOP＝θ，當△POC面積的最大值時θ的值為___________

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，一動圓與直線相切且與圓外切.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）若經(jīng)過定點的直線與曲線交于兩點， 是線段的中點，過作軸的平行線與曲線相交于點，試問是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

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