Question

投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元．設(shè)f（n）表示前n年的純利潤總和（f（n）=前n年的總收入一前n年的總支出一投資額）．
（1）該廠從第幾年開始盈利？
（2）若干年后，投資商為開發(fā)新項(xiàng)目，對該廠有兩種處理方案：①年平均純利潤達(dá)到最大時(shí)，以48萬元出售該廠；②純利潤總和達(dá)到最大時(shí)，以10萬元出售該廠，問哪種方案更合算？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，可知每年的支出構(gòu)成一個等差數(shù)列，故n年的總支出函數(shù)關(guān)系可用數(shù)列的求和公式得到；再根據(jù)f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額，可得前n年的純利潤總和f（n）關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；令f（n）＞0，并解不等式，即可求得該廠從第幾年開始盈利；
（2）對兩種決策進(jìn)行具體的比較，以數(shù)據(jù)來確定那一種方案較好．

解答： 解：（1）由題意，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，可知每年的支出構(gòu)成一個等差數(shù)列，用g（n）表示前n年的總支出，
∴g（n）=12n+

n(n-1)

2

×4=2n2+10n（n∈N^*）…（2分）
∵f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額
∴f（n）=50n-（2n²+10n）-72=-2n²+40n-72．…（3分）
由f（n）＞0，即-2n²+40n-72＞0，解得2＜n＜18．…（5分）
由n∈N^*知，從第三年開始盈利．…（6分）
（2）方案①：年平均純利潤為

f(n)

n

=40-2（n+

36

n

）≤16，
當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號成立．…（8分）
故方案①共獲利6×16+48=144（萬元），此時(shí)n=6．…（9分）
方案②：f（n）=-2（n-10）²+128．
當(dāng)n=10時(shí)，[f（n）]_max=128．
故方案②共獲利128+10=138（萬元）．…（11分）
比較兩種方案，選擇方案①更合算．…（12分）

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查解一元二次不等式，同時(shí)考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．