在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a2=b2+c2+
3
bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）設(shè)a=
3
，S為△ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時(shí)B的值．
考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式代入計(jì)算求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（Ⅱ）利用正弦定理列出關(guān)系式，將a與sinA的值代入表示出b與csinA，利用三角形面積公式表示出S，代入所求式子中，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可確定出最大值以及此時(shí)B的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+
3
ab，即b2+c2-a2=-
3
bc，
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=-
3
2
，
則A=
5π
6
；
（Ⅱ）∵a=
3
，sinA=
1
2
，
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
得：b=
asinB
sinA
，csinA=asinC，
∴S=
1
2
bcsinA=
1
2
•
asinB
sinA
•asinC=3sinBsinC，
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B-C），
當(dāng)B-C=0，即B=C=
π-A
2
=
π
12
時(shí)，S+3cosBcosC取得最大值為3．
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}
（1）若a1=1，an=3an-1+1，求an；
（2）若Sn=2n2-3n+1，求an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
=（1，5，-1），
b
=（-2，3，5）．
（1）當(dāng)（λ
a
+
b
）∥（
a
-3
b
）時(shí)，求λ的值；
（2）當(dāng)（
a
-3
b
）⊥（λ
a
+
b
）時(shí)，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（-cos2x，2），
b
=（2，2-
3
sin2x），函數(shù)f（x）=
a
•
b
-4．
（Ⅰ）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最大值并求出相應(yīng)x的值；
（Ⅱ）若將f（x）圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小到原來的
1
2
倍，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移
π
3
個(gè)單位得到g（x）圖象，求g（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅲ）若f（α）=-1，α∈（
π
4
，
π
2
），求sin2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元．設(shè)f（n）表示前n年的純利潤總和（f（n）=前n年的總收入一前n年的總支出一投資額）．
（1）該廠從第幾年開始盈利？
（2）若干年后，投資商為開發(fā)新項(xiàng)目，對該廠有兩種處理方案：①年平均純利潤達(dá)到最大時(shí)，以48萬元出售該廠；②純利潤總和達(dá)到最大時(shí)，以10萬元出售該廠，問哪種方案更合算？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax-
1
x
-a+1，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a4=5，a2+a8=14，數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=2 an+3•bn．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
1
log2bn+1
}的前n項(xiàng)和；
（3）若cn=an•（
2
） an+1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

圓O1，圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，
（1）把圓O1，圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）求經(jīng)過圓O1，圓O2交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°
④sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°
⑤sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°．
（1）利用計(jì)算器求出這個(gè)常數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請你寫出一個(gè)三角恒等式，使得上述五個(gè)等式是這個(gè)恒等式的特殊情況；
（3）證明你寫出的三角恒等式．

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