Question

12．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB，CD₁的中點，AA₁=AD=1，AB=2．．
（1）求證：EF∥平面BCC₁B₁；
（2））求證：平面CD₁E⊥平面D₁DE；
（3）求三棱錐F-D₁DE的體積．

Answer 1

分析 （1）過F作FM∥C₁D₁交CC₁于M，連結(jié)BM，推導出EBMF是平行四邊形，從而EF∥BM，由此能證明EF∥平面BCC₁B₁．
（2）推導出D₁D⊥CE，CE⊥DE，從而CE⊥平面D₁DE，由此能證明平面CD₁E⊥平面D₁DE．
（3）由${V}_{F-{D}_{1}DE}={V}_{E-{D}_{1}DF}$，能求出三棱錐F-D₁DE的體積．

解答 證明：（1）過F作FM∥C₁D₁交CC₁于M，連結(jié)BM，
∵F是CD₁的中點，∴FM∥C₁D₁，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$C₁D₁，（2分）
又∵E是AB中點，∴BE∥C₁D₁，BE=$\frac{1}{2}$C₁D₁，
∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四邊形，∴EF∥BM
又BM在平面BCC₁B₁內(nèi)，∴EF∥平面BCC₁B₁．（4分）
（2）∵D₁D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD內(nèi)，∴D₁D⊥CE
在矩形ABCD中，DE²=CE²=2，∴DE²+CE²=4=CD²，（6分）
∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D₁DE，
∵CE在平面CD₁E內(nèi)，∴平面CD₁E⊥平面D₁DE．（8分）
解：（3）三棱錐F-D₁DE的體積：
${V}_{F-{D}_{1}DE}={V}_{E-{D}_{1}DF}$
=$\frac{1}{3}×{S}_{△{D}_{1}DF}×AD$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{D}_{1}D×\frac{1}{2}CD×AD$=$\frac{1}{6}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求不地，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．