Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M，N分別在BB₁，DD₁上，且AM⊥A₁B，AN⊥A₁D．
（1）求證：A₁C⊥平面AMN；
（2）當(dāng)AB=2，AD=2，A₁A=3時(shí)，問在線段AA₁上是否存在一點(diǎn)P使得C₁P∥平面AMN，若存在，試確定P的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出A₁C⊥AM，A₁C⊥AN，由此能證明A₁C⊥平面AMN．
（2）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段AA₁上存在一點(diǎn)P使得C₁P∥平面AMN．

解答： （1）證明：∵CB⊥平面A₁B，
∴A₁C在平面A₁B上的射影為A₁B，
由AM⊥A₁B，AM?平面A₁B，得A₁C⊥AM，
同理可證A₁C⊥AN，
又∵AM∩AN=A，
∴A₁C⊥平面AMN．
（2）解：以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=2，AD=2，A₁A=3，
M，N分別在BB₁，DD₁上，且AM⊥A₁B，AN⊥A₁D，
∴A（2，2，0），N（2，0，z），M（0，2，y），
A₁（2，2，3），B（0，2，0），D（2，0，0），C₁（0，0，3），
∴

AM

=（-2，0，y），

AN

=（0，-2，z），

A1B

=（-2，0，-3），

A1D

=（0，-2，-3），
∵

AM

•

A1B

=4-3y=0，解得y=

4

3

，∴

AM

=(-2，0，

4

3

)，
∵

AN

•

A1D

=4-3z=0，解得z=

4

3

，∴

AN

=（0，-2，

4

3

），
設(shè)平面AMN的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AM =-2x+ 4 3 z=0 n • AN =-2y+ 4 3 z=0

，取z=3，得

n

=（2，2，3），
設(shè)線段AA₁上是否存在一點(diǎn)P（2，2，t），使得C₁P∥平面AMN，
則

C1P

=（2，2，t-3），
∵C₁P∥平面AMN，∴

C1P

•

n

=4+4+3t-9=0，解得t=

1

3

．
∴P（2，2，

1

3

）．
∴線段AA₁上存在一點(diǎn)P（2，2，

1

3

），使得C₁P∥平面AMN．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．