Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=-

1

2

（a_n-2），b_n=

2Sn

an

+1．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式．
（2）記C_n=log₃b₁+log₃b₂+…+log₃b_n，任取n∈N^*是否存在正整數m，使

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

≥

m

3

都成立？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列遞推式,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出數列{a_n}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數列，由此能求出an=2•(

1

3

)n．b_n=3ⁿ．
（2）由C_n=

n(n+1)

2

，知

1

cn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項求和法能求出任取n∈N^*使

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

≥

m

3

都成立的正整數m．

解答： 解：（1）∵S_n=-

1

2

（a_n-2），
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2

an+

1

2

an-1，
即an=

1

3

an-1，
又a1=

2

3

，∴數列{a_n}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數列，
∴an=2•(

1

3

)n．
∴Sn=

2 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=1-(

1

3

)n，
∴b_n=

2Sn

an

+1=

2-2•( 1 3 )n

2•( 1 3 )n

+1=3ⁿ．
（2）C_n=log₃b₁+log₃b₂+…+log₃b_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

cn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

，
假設任取n∈N^*都存在正整數m，使

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

≥

m

3

都成立，
則

2n

n+1

≥

m

3

對?n∈N^*都成立，即m≤6-

6

n+1

對?n∈N^*都成立，
∵m是正整數，∴m的值為1，2，3．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的正整數是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．