Question

2．不等式ax²y²+x²+y²-3xy+a-1≥0對(duì)任意的x，y∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得（x²+y²-2xy）+（ax²y²-xy+a-1）≥0，即有（x-y）²+（ax²y²-xy+a-1）≥0恒成立，等價(jià)為ax²y²-xy+a-1≥0恒成立．即有a＞0，判別式非負(fù)，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：不等式ax²y²+x²+y²-3xy+a-1≥0，
即為（x²+y²-2xy）+（ax²y²-xy+a-1）≥0，
即有（x-y）²+（ax²y²-xy+a-1）≥0恒成立，
即為ax²y²-xy+a-1≥0恒成立．
則有a＞0，且判別式△=1-4a（a-1）≤0，
解得a≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：[$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用配方和二次函數(shù)的恒成立解法：由判別式非負(fù)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．