Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{|x|}}$
（1）若f（x）=2，求實(shí)數(shù)x的值
（2）若不等式f（2t）-mf（t）≥0對t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=2即e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$=2，先解e^x，再解x值，注意e^x＞0；
（2）不等式f（2t）-mf（t）≥0恒成立，通過整理變形轉(zhuǎn)化為m≤e^t+$\frac{1}{{e}^{t}}$恒成立，分離參數(shù)m后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決．

解答 解：（1）若x≤0，則f（x）=e^x-e^x=0，
f（x）=2即e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$=2，（x＞0），
得e^2x-2•e^x-1=0，
∴e^x=1-$\sqrt{2}$（舍去）或e^x=1+$\sqrt{2}$，
∴x=ln（1+$\sqrt{2}$）；
（2）由x＞0可得f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$，
不等式f（2t）-mf（t）≥0對t∈[1，2]恒成立，即為
e^2t-$\frac{1}{{e}^{2t}}$-m（e^t-$\frac{1}{{e}^{t}}$）≥0，
∵t∈[1，2]，∴e^2t＞$\frac{1}{{e}^{2t}}$，e^t＞$\frac{1}{{e}^{t}}$，
∴m≤e^t+$\frac{1}{{e}^{t}}$恒成立，
由于t∈[1，2]，則e^t∈[e，e²]，
即有e^t+$\frac{1}{{e}^{t}}$的最小值為e+$\frac{1}{e}$，
∴m≤e+$\frac{1}{e}$，
因此m的最大值為e+$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題及指數(shù)方程的求解，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決，或分離參數(shù)后再求函數(shù)最值．