Question

11．設f（x）是定義在（0，+∞）上的單調增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．
（1）求f（1）；
（2）若f（x）+2≤f（x+8），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 ①利用賦值法進行求f（1）的值；      
②根據函數的單調性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明．
③根據函數單調性的性質解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
（2）∵f（3）=1，
∴f（3）+f（3）=1+1=2，
即f（3×3）=f（9）=2，
則不等式f（x）+2≤f（x+8），
等價為f（x）+f（9）≤f（x+8），
即f（9x）≤f（x+8），
∵f（x）在（0，+∞）上的是增函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+8＞0}\\{9x≤x+8}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞-8}\\{x≤1}\end{array}\right.$，解得0＜x≤1，
即不等式的解集為（0，1]．

點評 本題主要考查抽象函數的求值，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，利用函數的單調性的應用是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．