Question

已知f（x）=alnx-bx²，若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件得

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，由此能示出a=1，b=

1

2

．
（2）f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，由此能求出函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx-bx²，
∴x＞0，f′(x)=

a

x

-2bx，
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，
解得a=1，b=

1

2

．
（2）f（x）=lnx-

1

2

x2，f′(x)=

1

x

-x=

1-x2

x

，
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）≤0，
∴f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（2）=ln2-

1

2

×4=ln2-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．