Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線與x軸平行，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a∈R時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）-ax+e^x＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件得f′(x)=a-

1

x

，f′(e)=a-

1

e

=0，由此能求出a的值．
（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=ax-2-lnx在[1，2]內(nèi)是減函數(shù)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=2a-2-ln2；當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)=a-

1

x

=0，得x=

1

a

，再由a＞1時(shí)，

1

2

≤a≤1，0＜a＜

1

2

三種情況進(jìn)行分類討論，由此能求出y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．
（Ⅲ）構(gòu)造g（x）=e^x-2-lnx，兩次對(duì)g（x）求導(dǎo)，再令h（x）=g′（x）=0，令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=

1

m

，-m=lnm，再討論0＜x＜m，x＞m，g（x）的單調(diào)性，得到g（x）＞g（m），由基本不等式證明g（m）＞0即可．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ax-2-lnx，
∴x＞0，f′(x)=a-

1

x

，
∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線與x軸平行，
∴f′(e)=a-

1

e

=0，解得a=

1

e

．
（Ⅱ）解：當(dāng)a≤0時(shí)，∵x∈[1，2]，∴f′(x)=a-

1

x

＜0，
∴f（x）=ax-2-lnx在[1，2]內(nèi)是減函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=2a-2-ln2．
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)=a-

1

x

=0，得x=

1

a

，
①若

1

a

＜1，即a＞1時(shí)，
f（1）=a-2，f（2）=2a-2-ln2，
f（2）-f（1）=a-ln2＞0，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為a-2；
②若1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1時(shí)，
∵x∈[1，2]，∴f′(x)=a-

1

x

＜0，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=2a-2-ln2；
③若

1

a

＞2，即a＜

1

2

時(shí)，
∵x∈[1，2]，∴f′(x)=a-

1

x

＜0，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為f（2）=2a-2-ln2．
綜上，y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為：
y_min=

2a-2-ln2，a≤1 a-2，a＞1

．
（Ⅲ）證明：：∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），
∴令g（x）=f（x）-ax+e^x=e^x-2-lnx，
∵g′（x）=e^x-

1

x

，
令h（x）=g′（x），則h′（x）=e^x+

1

x2

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
令x=m（0＜m＜1），h（x）=0，即e^m=

1

m

，-m=lnm，
當(dāng)0＜x＜m時(shí)，h（x）＜0，則g（x）在（0，m）上遞減，
g（x）＞g（m）=e^m-2-lnm=

1

m

+m-2＞2-2，
即g（x）＞0；
當(dāng)x＞m時(shí)，h（x）＞0，則g（x）在（m，+∞）上遞增，
g（x）＞g（m）=

1

m

+m-2＞2-2，
即g（x）＞0．
故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）-ax+e^x＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值，解題要注意分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及構(gòu)造函數(shù)的思想，考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，屬于中檔題．