Question

9．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F是A₁C₁、BC的中點．證明：
（1）C₁F∥面ABE；
（2）證明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點H，連接FH，HC₁，運用中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)，證得平面HFC₁∥面ABE，再由性質(zhì)定理，即可得證；
（2）由（1）可得平面HFC₁∥面ABE，只要證得平面HFC₁⊥平面BB₁C₁C．運用余弦定理可得HF⊥BC，再由直三棱柱的定義和線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：（1）取AC的中點H，連接FH，HC₁，
由HF為三角形ABC的中位線，可得HF∥AB，
HF?面ABE，即有HF∥面ABE；
又四邊形AEC₁H為平行四邊形，可得AE∥HC₁，
HC₁?面ABE，即有HC₁∥面ABE；
即有平面HFC₁∥面ABE，
由C₁F?HFC₁，則C₁F∥面ABE；
（2）由（1）可得平面HFC₁∥面ABE，
只要證得平面HFC₁⊥平面BB₁C₁C．
在△HFC中，CH=2，CF=1，∠HCF=60°，
可得HF=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有HF⊥BC，
由直三棱柱的概念可得B₁B⊥AB，
由AB∥HF，可得HF⊥B₁B，
則有HF⊥平面B₁BCC₁，
即有平面HFC₁⊥平面BB₁C₁C．
故平面AEB⊥平面BB₁C₁C．

點評 本題考查線面平行的判定，注意運用面面平行的性質(zhì)定理，考查面面垂直的判定，注意運用轉(zhuǎn)移法，由面面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定可得，考查推理能力，屬于中檔題．