Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ（ρ＞0），設(shè)A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)依次分別為（2，-

π

4

）和（4，

π

4

）．
（Ⅰ）求線段AB的長(zhǎng)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線OA與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作直線AB的垂線l，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）由A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)依次分別為（2，-

π

4

）和（4，

π

4

）．可得∠AOB=90°，利用勾股定理即可得出|AB|．
由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=6cosθ（ρ＞0）可得ρ²=6ρcosθ，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可得出；
（II）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得點(diǎn)A、B的直角坐標(biāo)，可得直線AB的斜率，再利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得l的斜率，把直線OA的方程與圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式可得直線l的方程．

解答： 解：（I）由A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)依次分別為（2，-

π

4

）和（4，

π

4

）．
可得∠AOB=90°，∴|AB|=

22+42

=2

5

．
由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=6cosθ（ρ＞0）可得ρ²=6ρcosθ，∴x²+y²=6x，
化為（x-3）²+y²=9，可得圓心C（3，0），半徑r=3．
（II）由A的極坐標(biāo)(2，-

π

4

)化為直角坐標(biāo)(2cos(-

π

4

)，2sin(-

π

4

))，即(

2

，-

2

)．
同理可得B(2

2

，2

2

)．
∴直線OA的方程為：y=-x．
聯(lián)立

y=-x x2+y2-6x=0

解得

x=0 y=0

或

x=3 y=-3

，得到P（3，-3）．
∵kAB=

- 2 -2 2

2 -2 2

=3，l⊥AB，
∴kl=

-1

kAB

=-

1

3

．
直線l的方程為y+3=-

1

3

(x-3)，化為x+3y+6=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點(diǎn)的坐標(biāo)直線的點(diǎn)斜式、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．