Question

在△ABC中，CA=3CB，cosC=-

1

3

，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）若AB=2

3

，過(guò)AB的中心點(diǎn)O作任意一條直線(xiàn)與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，求

AM

•

AN

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)|CB|=t，則|CA|=3t，由余弦定理，得|AB|=2

3

t，由此能求出離心率e．
（Ⅱ）由e=

3

2

，|AB|=2

3

，知c=

3

，a=2，b=1，以A，B所在直線(xiàn)為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，由此能求出x₀=0時(shí)，

AM

•

AN

有最大值2．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)|CB|=t，則|CA|=3t，
由余弦定理，得AB²=CB²+CA²-2CA•CB•cosC=12t²，
∴|AB|=2

3

t，
∵以A，B為焦點(diǎn)的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴由橢圓定義知2a=|CB|+|CA|=4t，則a=2t，
又|AB|=2c，則c=

3

t，
∴離心率e=

c

a

=

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）e=

3

2

，∵|AB|=2

3

，
∴c=

3

，∴a=2，b=1，
以A，B所在直線(xiàn)為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，
建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，
則對(duì)應(yīng)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1，A（-

3

，0），
依題意設(shè)M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），
∴

AM

=(x0+

3

，y0)，

AN

=(-x0+

3

，-y0)，
∴

AM

•

AN

=(x0+

3

)(-x0+

3

)+y₀（-y₀）=-x02+3-y02，
∵

x02

4

+y02=1，
∴-x02+3-y02=-x02+3-(1-

x02

4

)=-

3

4

x02+2，
又∵-2≤x₀≤2，∴x₀=0時(shí)，

AM

•

AN

有最大值2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓離心率的求法，考查向量數(shù)量積最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．