Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（0）=0，對于任意x∈R都有f（x）≥x且f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），求函數(shù)f（x）的表達式．

Answer 1

分析 由f（0）=0可得c=0而函數(shù)對于任意x∈R都有f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），可得函數(shù)f（x）的對稱軸從而可得a=b
結合f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0對于任意x∈R都成立，可轉化為二次函數(shù)的圖象可得a＞0，且△=（b-1）²≤0．

解答 解：∵f（0）=0，∴c=0．
∵對于任意x∈R都有f（-$\frac{1}{2}$+x）=f（-$\frac{1}{2}$-x），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{2}$，得a=b．
又f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0對于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且△=（b-1）²≤0．
∵（b-1）²≥0，∴b=1，a=1．
∴f（x）=x²+x．

點評 本題主要考查了函數(shù)的解析式的求解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．