Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，2sinx）．
（1）求f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上的最大值，并求出f（x）取最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）直接由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1，利用輔助角公式化積后求得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1的最小正周期；
（2）在（1）中求出的函數(shù)解析式內(nèi)，由x的范圍求得f（x）的最大值，并得到f（x）取最大值時(shí)x的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，2sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1=2cos²x+2sinxcosx-1=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1的最小正周期為$\frac{2π}{2}=π$；
（2）$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}$]．
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時(shí)，$f（x）_{max}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)最值的求法，是基礎(chǔ)題．