Question

設函數(shù)f（x）=x²+|x-a|（x∈R，a為實數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）設a＞

1

2

，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）設a＞0，g（x）=

f(x)

x

，x∈（0，a]，若g（x）在區(qū)間（0，a]上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）設a＞

1

2

，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）先求出函數(shù)g（x）的解析式，再結(jié)合單調(diào)性的定義即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+|x-a|，
∴f（-x）=x²+|-x-a|=x²+|x+a|，
若a=0，則f（-x）=f（x）=x²+|x|，此時函數(shù)為偶函數(shù)，
若a≠0，則f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），此時函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
（2）當x≥a時，f（x）=x²+|x-a|=x²+x-a=（x+

1

2

）²-（a+

1

4

），
當x＜a時，f（x）=x²+|x-a|=x²-x+a=（x-

1

2

）²+（a-

1

4

），
∵a＞

1

2

，
∴當x≥a時，函數(shù)的最小值為f（

1

2

）=1-a-

1

4

=

3

4

-a，
當x≤a時，函數(shù)的最小值為f（

1

2

）=a-

1

4

，
∵a＞

1

2

，∴a-

1

4

-（

3

4

-a）=2a-1＞0，
∴a-

1

4

＞

3

4

-a，
即函數(shù)的最小值為

3

4

-a．
（3）當x∈（0，a]時，
f（x）=x²-x+a，g（x）=

f(x)

x

=x+

a

x

+1，
設x₁，x₂∈（0，a]，且x₂＞x₁＞0，于是x₁x₂-a²＜0，x₁x₂＞0．
∵f（x₁）-f（x₂）=x1+

a

x1

-1-(x2+

a

x2

-1)=（x₁-x₂）（1-

a

x1x2

）＞0
∵x₁，x₂∈（0，a]且x₁＜x₂，
∴x₁x₂＜a²，
即a≥a²，
解得0＜a≤1，
因此實數(shù)a 的取值范圍是（0，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關鍵，本題綜合性較強，運算量較大．