Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y²=x的弦PQ被直線L：x+y-2=0垂直平分，求△OPQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，把PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)用P，Q的坐標(biāo)表示，由M在L上得P，Q坐標(biāo)的關(guān)系，再由PQ得斜率等于1得P，Q坐標(biāo)的另一關(guān)系，聯(lián)立方程組求得P，Q的坐標(biāo)，求出OP，OQ的長度，判斷出OP與OQ垂直，然后代入三角形的面積公式求面積．

解答： 解：設(shè)P（a，a²），Q（b，b²），中點(diǎn)M（

a+b

2

，

a2+b2

2

）
將M代入L：x+y-2=0，得

a+b

2

+

a2+b2

2

-2=0，即a+b+a²+b²=4  ①．
又PQ垂直L，
∴k_PQ=1，即

a2-b2

a-b

=1，a+b=1  ②．
代入①得：a²-a-1=0，解得：a=

1± 5

2

．
當(dāng)a=

1+ 5

2

時(shí)，b=

1- 5

2

．
當(dāng)a=

1- 5

2

時(shí)，b=

1+ 5

2

．
∴P(

1+ 5

2

，

3+ 5

2

)，Q(

1- 5

2

，

3- 5

2

)，或P(

1- 5

2

，

3- 5

2

)，Q(

1+ 5

2

，

3+ 5

2

)．
∵

1- 5

2

•

1+ 5

2

+

3- 5

2

•

3+ 5

2

=0，
∴OP⊥OQ，
當(dāng)P(

1+ 5

2

，

3+ 5

2

)，Q(

1- 5

2

，

3- 5

2

)時(shí)，|OP|=

( 1+ 5 2 )2+( 3+ 5 2 )2

=

5+2 5

，|OQ|=

( 1- 5 2 )2+( 3- 5 2 )2

=

5-2 5

．
∴S△OPQ=

1

2

×

5+2 5

×

5-2 5

=

5

2

．
當(dāng)P(

1- 5

2

，

3- 5

2

)，Q(

1+ 5

2

，

3+ 5

2

)時(shí)，同理可得S△OPQ=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，解答的關(guān)鍵是充分利用拋物線y²=x的弦PQ被直線L：x+y-2=0垂直平分列P，Q坐標(biāo)的關(guān)系，從而求得P，Q的坐標(biāo)，考查了計(jì)算能力，是中檔題．