Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點是坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點A（x₁，y₁），α∈（

π

4

，

π

2

）．將角α終邊繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

，交單位圓于點B（x₂，y₂）．
（1）若x₁=

3

5

，求x₂；
（2）過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記△AOC及△BOD的面積分別為S₁，S₂，且S₁=

4

3

S₂，求tanα的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由A點的橫坐標(biāo)，結(jié)合OA在第一象限求得A點的縱坐標(biāo)，從而得到sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，代入兩角和的余弦公式求得x₂；
（2）直接寫出△AOC的面積S₁，結(jié)合（α+

π

4

）的正弦值為正值，余弦值為負(fù)值寫出△BOD的面積S₂，再由S₁=

4

3

S₂列式求解tanα的值．

解答： 解：（1）∵x₁=

3

5

，y₁＞0，
∴y1=

1-x12

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∴sinα=

4

5

，cosα=

3

5

．
則x2=cos(α+

π

4

)=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

2

10

；
（2）S1=

1

2

sinαcosα=

1

4

sin2α．
∵α∈（

π

4

，

π

2

），
∴α+

π

4

∈(

π

2

，

3π

4

)，
∴S2=-

1

2

sin(α+

π

4

)cos(α+

π

4

)=-

1

4

sin(2α+

π

2

)=-

1

4

cos2α．
∵S₁=

4

3

S₂，
∴sin2α=-

4

3

cos2α，即tan2α=-

4

3

．
∴

2tanα

1-tan2α

=-

4

3

，解得：tanα=2或tanα=-

1

2

．
∵α∈（

π

4

，

π

2

），
∴tanα=2．

點評：本題考查直線與圓的綜合，考查了三角函數(shù)的化簡求值，解答的關(guān)鍵是理解并熟練運用三角函數(shù)線，是中檔題．