Question

以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對于函數(shù)φ（x），存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．例如，當(dāng)φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx時，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．現(xiàn)有如下命題：
①設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，則“f（x）∈A”?“?b∈R，?x∈R，f（a）=b”；
②若函數(shù)f（x）∈B，則f（x）有最大值和最小值；
③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）∉B；
④若函數(shù)f（x）=

ax

x2+1

（a∈R），則f（x）∈B．
其中的真命題有

 

．（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題中的新定義，結(jié)合函數(shù)值域的概念，可判斷出命題①②③是否正確，再利分類討論④中函數(shù)的值域，可得到其真假情況，從而得到本題的結(jié)論．

解答： 解：（1）對于命題①
“f（x）∈A”即函數(shù)f（x）值域?yàn)镽，
“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”表示的是函數(shù)可以在R中任意取值，
故有：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”
∴命題①是真命題；
   （2）對于命題②
若函數(shù)f（x）∈B，即存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)f（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函數(shù)f（x）滿足-2＜f（x）＜5，則有-5≤f（x）≤5，此時，f（x）無最大值，無最小值．
∴命題②“函數(shù)f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值．”是假命題；
   （3）對于命題③
若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
則f（x）值域?yàn)镽，f（x）∈（-∞，+∞），
并且存在一個正數(shù)M，使得-M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
則f（x）+g（x）∉B．
∴命題③是真命題．
（4）對于命題④∵函數(shù)f（x）=

ax

x2+1

當(dāng)x=0時，f（x）=0，
當(dāng)x＞0時，x+

1

x

≥2，
∴0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
當(dāng)a=0時，f（x）=0，
當(dāng)a＞0時，0＜f（x）≤

a

2

，
當(dāng)a＜0時，

a

2

≤f(x)＜0，
當(dāng)x＜0時，x+

1

x

≤-2，
-

1

2

≤

1

x+ 1 x

＜0
當(dāng)a=0時，f（x）=0，
當(dāng)a＞0時，-

a

2

≤＜f（x）＜0，
當(dāng)a＜0時，0＜＜f（x）≤-

a

2

，
綜上所述即，f（x）∈B．
故命題④是真命題．
故答案為①③④．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)值域的概念、基本不等式、充要條件，還考查了新定義概念的應(yīng)用和極限思想．本題計(jì)算量較大，也有一定的思維難度，屬于難題．