Question

【題目】如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（1）求證：FC∥平面EAD；
（2）求直線AF與平面BCF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，

∴AD∥BC，DE∥BF．

∵AD平面FBC，DE平面FBC，BC平面FBC，BF平面FBC，

∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，

又AD∩DE=D，AD平面EAD，DE平面EAD，

∴平面FBC∥平面EAD，

又FC平面FBC，∴FC∥平面EAD．

（2）解：連接FO、FD，∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，

∴△DBF為等邊三角形，

∵O為BD中點(diǎn)，∴FO⊥BD，

又∵O為AC中點(diǎn)，且FA=FC，∴AC⊥FO，

又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD．

由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz

設(shè)AB=2，因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，OB=1，OA=OF= ，

∴O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），F(xiàn)（0，0， ），

=（ ）， =（ ）， =（﹣ ，0， ），

設(shè)平面BCF的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，﹣1），

設(shè)直線AF與平面BCF所成角為θ，

則sinθ= = = ，

∴cosθ= = ，

∴直線AF與平面BCF所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）由已知得AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，從而平面FBC∥平面EAD，由此能證明FC∥平面EAD．（2）連接FO、FD，由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出直線AF與平面BCF所成角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．