Question

A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c，若

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），且

m

•

n

=

1

2

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=

3

，求2b+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二倍角的余弦公式，由條件能求得cosA，從而求得A．
（Ⅱ）求邊的取值范圍，由于知道了角A和邊a，所以可用正弦定理用角來(lái)表示邊，得出2b+c=4sinB+2sinC，又因?yàn)?span id="ybaojyx" class="MathJye">B=

π

3

-C，帶入并化簡(jiǎn)得2b+c=2

3

cosC，因?yàn)镃的范圍是（0，

π

3

），所以便可求出2b+c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）

m

•

n

=-cos2

A

2

+sin2

A

2

=-cosA=

1

2

；
∴cosA=-

1

2

，∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理：

3

3 2

=

b

sinB

=

c

sinC

∴b=2sinB，c=2sinC；
∴2b+c=4sinB+2sinC=4sin(π-

2π

3

-C)+2sinC=2

3

cosC-2sinC+2sinC=2

3

cosC；
∵0＜C＜

π

3

，∴

1

2

＜cosC＜1，∴

3

＜2

3

cosC＜2

3

；
∴2b+c的取值范圍是（

3

，2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的余弦公式，正弦定理，兩角差的正弦公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性．掌握這種把邊轉(zhuǎn)化成角，并轉(zhuǎn)化成一個(gè)角的方法．