Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-|x|，x≤3}\\{（x-3）^{2}，x＞3}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=m-f（3-x），其中m∈R，若函數(shù)y=f（x）-g（x）至少有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{11}{4}$，3）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（3-x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-|3-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，從而可得m=f（x）+f（3-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3+x，x＜0}\\{3，0≤x≤3}\\{{x}^{2}-7x+15，x＞3}\end{array}\right.$，作其函數(shù)的圖象，從而解得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-|x|，x≤3}\\{（x-3）^{2}，x＞3}\end{array}\right.$，
∴f（3-x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-|3-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
令y=f（x）-g（x）=f（x）+f（3-x）-m=0，
則m=f（x）+f（3-x）
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3+x，x＜0}\\{3，0≤x≤3}\\{{x}^{2}-7x+15，x＞3}\end{array}\right.$，
作函數(shù)m=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3+x，x＜0}\\{3，0≤x≤3}\\{{x}^{2}-7x+15，x＞3}\end{array}\right.$的圖象如下，
，
結(jié)合函數(shù)的圖象可得，
當(dāng)$\frac{11}{4}$＜m≤3時(shí)，函數(shù)y=f（x）-g（x）至少有4個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：[$\frac{11}{4}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．